Quantum Field Theory - Field

refer to Quantum Field Theory by Franz Mandl, Graham Shaw.

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1 Quantum Mechanics 量子力学

1.1 Operator 算符

考虑到算符是厄米的 , 根据前面对称性操作和守恒量的讨论, 容易找到对应关系:

\begin{array}{rccl} 对 称 性 操 作 ⟷ & 算 符 在 位 置 表 象 下 的 表 示 & ⟷ & 算 符 \\ 空 间 平 移 ⟷ & - i \partial_{i} & ⟷ & 动 量 {\hat{p}}_{i} \\ 时 间 平 移 ⟷ & - i \partial_{t} & ⟷ & 能 量 \hat{E} \\ 转 动 (轨 道) ⟷ & ϵ_{i j k} x^{i} \partial^{j} & ⟷ & 轨 道 角 动 量 {\hat{L}}_{i} \\ 转 动 (自 转) ⟷ & S_{i} & ⟷ & 自 旋 角 动 量 {\hat{S}}_{i} \end{array}

关于自旋并没有给出详细的算符表示, 因为粒子的自旋不同, 导致 $S_{i}$ 的表示不唯一. 比如电子自旋为 $\frac{1}{2}$ , 对应的是泡利矩阵 $S_{i} = \frac{ℏ}{2} σ_{i}$ ; 光子自旋为 $1$ , 对应的是 $S O (3)$ 的生成元乘以 $i ℏ$ , 等等.

上面的说法仅是一种直觉, 结果也跟量力一致. 其中的厄米性来自于: 算符对应的可观测量必须是实数, 厄米算符的特征值正好满足这一点.

2 Quantum Field Theory 量子场论

2.1 Klein-Gordon field 克莱恩-戈登场

对于自旋为 $0$ 的粒子(比如 $H i g g s$ 玻色子)的标量场, 使用 $L o r e n t z$ 群的 $(0, 0)$ 表示描述其变换, 可以尝试用两种方式得到这种场的运动方程( $E u l e r - L a g r a n g e$ 方程), 或者说场的演化方程.

2.1.1 Relativistic generalization of Schrodinger equation 薛定谔方程的相对论推广

经典薛定谔方程基于非相对论性的能动关系, 也就是从以下关系

E = \frac{P^{2}}{2 m} + V (\vec{r}) \to \hat{E} = \frac{\hat{P} \cdot \hat{P}}{2 m} + \hat{V} (\vec{r})

利用上面的物理量与算符在位置表象下的表示, 可以得到经典薛定谔方程:

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (\vec{r})) ψ

如果考虑的是相对论性的能动关系

E^{2} = (P c)^{2} + (m c^{2})^{2}

将会得到

{(i ℏ \frac{\partial}{\partial t})}^{2} ψ = (- ℏ^{2} c^{2} \nabla^{2} + m^{2} c^{4}) ψ \to (\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}) ψ = 0

这就是 $K l e i n$ - $G o r d o n$ 方程. 下面尝试用场的方式得到它.

2.1.2 Klein-Gordon equation 克莱恩-戈登方程

对于标量场 $Φ (x^{μ})$ , 首先构造拉格朗日函数, 有几个注意点: (1)拉氏量是洛伦兹标量; (2)拉氏量可以相差任意常数, 这个常数可以直接舍去; 同时拉氏量也可以相差整数倍, 这只会让运动方程多出一个常数倍因子, 所以可以直接选定拉氏量的某一项系数为 $1$ ; (3)候选的标量不高于二阶(指的是导数以及幂次不高于二阶), 诸如 $Φ^{3}$ , $Φ \partial^{μ} \partial_{μ} Φ$ 之类的项被直接舍弃, 高阶项的引入会使理论变得复杂(高阶理论涉及到微扰和 $O s t r o g r a d s k i$ 不稳定性), 同时也使得运动方程包含高阶项, 也因此需要更多的初始条件.

于是, 候选的标量就只剩下(穷举):

Φ Φ^{2} \partial_{μ} Φ \partial^{μ} Φ \partial_{μ} \partial^{μ} Φ Φ \partial_{μ} \partial^{μ} Φ

另外, 作用量写作 $S = \int L (Φ, \partial_{μ} Φ, x^{μ}) d x^{0} d x^{1} d x^{2} d x^{3}$ , 标量场的拉格朗日方程写作 $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} - \frac{\partial L}{\partial Φ} = 0$ , 注意到

\int \partial_{μ} Φ \partial^{μ} Φ d x^{μ} = \int \partial^{μ} Φ d Φ = \underset{= 0}{\underset{⏟}{{Φ \partial^{μ} Φ |}_{- \infty}^{\infty}}} - \int Φ \partial_{μ} \partial^{μ} Φ d x^{μ}

上式的 $μ$ 指的是 $0 - 3$ 中任意一个指标, 不代表求和意义. 可以看出, 由于场传播的速度有上限, 使得 $\partial_{μ} Φ \partial^{μ} Φ$ 和 $Φ \partial_{μ} \partial^{μ} Φ$ 这两项没有区别. 另外 $Φ$ 这一项只是给运动方程增加了一个常数, 因此也可以忽略. 而对于 $\partial_{μ} \partial^{μ} Φ$ , 显然它是一个微分项, 比如

\int \partial_{0} \partial^{0} Φ d x^{0} d x^{1} d x^{2} d x^{3} = \int d x^{1} d x^{2} d x^{3} {\partial^{0} Φ |}_{- \infty}^{\infty} = 0

余下的项就只有 $Φ^{2}$ 和 $\partial_{μ} Φ \partial^{μ} Φ$ , 前者是质量项, 后者是动能项, 这样常系数就只有一个自由度, 一般选取常系数满足:

L = \frac{1}{2} (\partial_{μ} Φ \partial^{μ} Φ - m^{2} Φ^{2})

虽然在没有确定 $m$ 是啥之前, 这个系数选取还没有用掉这一个自由度. 也就是说, 这个给定系数跟没给定一样. 先将拉氏量带入拉格朗日方程可以得到

(\partial_{μ} \partial^{μ} + m^{2}) Φ = 0

这就是四维形式的 $K l e i n$ - $G o r d o n$ 方程, 将 $1.1$ 节得到的表达式采取自然单位制( $ℏ = c = 1$ )会得到一致的结果.

ques: $m$ 是啥?
考虑平面波解, 也就是 $Φ (x^{μ}) = Φ_{0} e^{i k_{μ} x^{μ}} = Φ_{0} e^{i ℏ {ω t - \vec{k} \cdot \vec{x}}}$ , 带入 $K$ - $G$ 方程得到

(- k_{μ} k^{μ} + m^{2}) Φ_{0} e^{i k_{μ} x^{μ}} = 0 \to (k^{0})^{2} - \sum_{i} (k^{i})^{2} = m^{2}

因为度规的选取不同( (+---)和(-+++) ), 第二个式子可能多出一个负号, 不过这都没影响, 关键是这个方程就是取自然单位制的能动关系:

E^{2} = p^{2} + m^{2}

也就是 $m$ 对应着质量.

2.2 Dirac field 狄拉克场

2.3 Proca field 普罗卡场

2.3.1 Free field 自由场

与 Klein-Gordon 场十分类似, 只是此时的对象变为四维矢量场 $A^{μ}$ (或者说自旋为 1 的粒子产生的场), 候选的标量有:

A_{μ} A^{μ} \partial^{μ} A_{μ} \partial^{μ} A^{ν} \partial_{μ} A_{ν} \partial^{μ} A^{ν} \partial_{ν} A_{μ}

代入四维场的拉格朗日方程 $\frac{\partial}{\partial x^{μ}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} A^{ν})} - \frac{\partial L}{\partial A^{ν}} = 0$ , 发现 $\partial^{μ} A_{μ}$ 只是给运动方程引入了一个常数项, 因此可以忽略. 于是拉氏量就有两个自由度, 可以写作:

L = \partial^{μ} A^{ν} \partial_{μ} A_{ν} + C_{1} \partial^{μ} A^{ν} \partial_{ν} A_{μ} + C_{2} A^{μ} A_{μ}

拉格郎日方程写作:

\partial_{μ} \partial^{μ} A^{ν} + C_{1} \partial^{ν} \partial_{μ} A^{μ} = C_{2} A^{ν}

一般选取这两个常数满足:

\frac{1}{2} \partial_{μ} (\partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}) = m^{2} A^{ν}

这被称为 $p r o c a$ 方程. 一般记场强张量/电磁张量 $F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}$ , 对于光子 m=0, 可以从上式写成自由电磁场方程:

\partial_{μ} F^{μ ν} = 0

拉格朗日量也可以改写为:

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} (\partial^{μ} A^{ν} \partial_{μ} A_{ν} - \partial^{μ} A^{ν} \partial_{ν} A_{μ}) \\ = \frac{1}{4} (2 \partial^{μ} A^{ν} \partial_{μ} A_{ν} - 2 \partial^{μ} A^{ν} \partial_{ν} A_{μ}) \\ = \frac{1}{4} (\partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}) (\partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}) \\ = \frac{1}{4} F^{μ ν} F_{μ ν} + m^{2} A^{μ} A_{μ} \end{aligned}

2.3.2 Field with charge/current 非自由场

这一部分会与电磁场的内容重合.

由上述已知, 自由电磁场的拉氏量是 $L_{e m} = - \frac{1}{4 μ_{0} c} F^{α β} F_{α β}$ , 对于场中存在电荷并且带有电荷运动(电流)场景, 需要引入电荷密度 $ρ$ 和电流密度 $\vec{j}$ , 或者说四维电流 $j^{μ} = ρ \frac{d x^{μ}}{d t} = (ρ c, \vec{j})$ , 这一项显然要添加到原有的拉氏量当中去, 那么如何添加?

已经在理论力学当中知道, 带电粒子在电磁场当中的拉氏量的三维形式:

L = - \frac{m c^{2}}{γ} - q ϕ + q \vec{v} \cdot \vec{A}

将其改写为四维形式是容易的, 约定 $u^{μ} = (γ c, γ \vec{v}), A^{μ} = (\frac{ϕ}{c}, \vec{A})$ , 度规为(+---):

\begin{aligned} S & = \int L d t \\ = \int (- m c^{2} - q γ ϕ + q γ \vec{v} \cdot \vec{A}) d τ \\ = \int (- m c^{2} - q u^{μ} A_{μ}) d τ \\ = \int - \sum_{i} m_{i} c^{2} d τ - \int j^{μ} A_{μ} d^{3} x d t \end{aligned}

最后一步将 m 改写为 $m_{i}$ 并求和(因为场当中运动的电荷不止一个), 并利用了狄拉克函数进行改写, 即 $ρ = \sum_{i} q_{i} δ (\vec{x} - {\vec{x}}_{i})$ . 于是带电荷源的完整的电磁场作用量写作:

\begin{aligned} S & = \int L d t \\ = \int - \sum_{i} m_{i} c^{2} d τ + \int (- \frac{1}{4 μ_{0} c} F^{α β} F_{α β} - \frac{j^{μ} A_{μ}}{c}) d^{4} x \\ = \int L d^{4} x \end{aligned}

上式使用了 $d^{4} x = c d t d x d y d z$ , 于是完整的拉格朗日密度可以写作:

\begin{aligned} L & = - \sum_{i} \frac{m_{i} δ (\vec{x} - {\vec{x}}_{i}) c^{2}}{γ} - \frac{1}{4 μ_{0} c} F^{α β} F_{α β} - \frac{j^{μ} A_{μ}}{c} \end{aligned}